Теория определителей

Теория определителей.

Такой определитель называется определителем второго порядка, поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами; при этом говорят, что элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а элементы b и c его побочную диагональ. Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях. Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно: Допустим, что у нас есть квадратная матрица

Определителем следующей матрицы является такое выражение: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31.. Как вы видите он просчитывается довольно легко, если запомнить определенную последовательность. С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники a12a23a31, a13a21a32.

С отрицательным знаком идут побочная диагональ и треугольники ей параллельные, т.е. a11a23a32, a12a21a33. Таким образом находятся определители любого порядка. Но бывают случаи, когда и этот метод становится довольно сложным, например, когда элементов в матрице очень много, и для того, чтобы сосчитать определитель нужно затратить уйму времени и внимания.

Существует более легкий способ вычисления определителя n-ого порядка, где n≥2. Договоримся называть минором любого элемента Aij матрицы n-ого порядка определитель, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания i-й строки и j-ого столбца ( той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij ). Минор элемента Aij будем обозначать символом

В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний – номер столбца, ф черта над M означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются. Определителем порядка n, соответствующим матрице, назовем число, равное

и обозначаемое символом

Теорема 1. Каков бы ни был номер строки i ( i =1, 2 …, n ), для определителя n-ого порядка справедлива формула

называемая разложением этого определителя по i-й строке. Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число (-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij.

Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца j (j =1, 2 …, n), для определителя n-го порядка справедлива формула

называемая разложением этого определителя по j-ому столбцу.

У определителей также есть свойства, с помощью которых задача их вычисления становится более легкой. Итак, ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель n-го порядка.

1. Свойство равноправности строк и столбцов. Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы A получается матрица, называется матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице A и обозначается символом A.

Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т. е.

2. Свойство антисимметрии при перестановке двух строк ( или двух столбцов ). При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно (из формулы вычисления определителя второго порядка сразу вытекает, что определители отличаются лишь знаком).

3. Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка (a) является линейной комбинацией двух других строк ( b и c ) с коэффициентами λ и μ. Линейное свойство можно сформулировать так: если в определителе n-го порядка ∆ некоторая i-я строка является линейной комбинацией двух строк с коэффициентами λ и μ, то ∆ = λ ∆₁ + μ ∆₂, где

∆1 – определитель, у которого i-я строка равна одной из двух строк линейной комбинации, а все остальные строки те же, что и у ∆, а ∆₂ – определитель, у которого i-я строка равна второй из двух строк, а все остальные строки те же, что и у ∆.

Эти три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками ( или столбцами ) равен нулю.

Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя на число a равносильно умножению определителя на это число a. Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки ( или некоторого столбца ) определителя можно вынести за знак этого определителя.

Следствие 3. Если все элементы некоторой строки ( или некоторого столбца ) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца ) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки ( другого столбца ), умножение на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменяется. Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую я приведу для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами ), то величена определителя не изменится. Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей.

Решение систем уравнений с помощью определителей

Для решения систем линейных уравнений используется так же метод Крамера, который основан на теории определителей.

Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядка

Пусть данная квадратная матрица второго порядка:

Рисунок.1.

Определитель (или детерминант) второго порядка, соответствующим данной матрице А это число a11a22-a12a21

Определитель второго порядка записывается так:

Рисунок 2.

Отметим, что определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей

Пусть данная квадратная матрица третьего порядка:

Рисунок 3.

Определитель (или детерминант) третьего порядка, соответствующим данной матрице А это число a11a22a33+a21a23a31-a12a23a31-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32.

Определитель третьего порядка записывается так:

Рисунок.4.

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Сарруса). Это правило проиллюстрируем на схеме.

Рисунок 5.

Еще один способ вычисления определителя третьего порядка, следует из правила треугольников:

Рисунок 6.

Три положительных члена определителя представляют собой произведение элементов главной диагонали (a11a22a33) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (a12a23a31 и a21a31a13). Три отрицательных его члена есть произведения элементов, побочной диагонали (a13a22a31) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (a12a21a33 и a11a23a32).

Теорема Крамера. Решение линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными:

Рисунок 7.

Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу А, а из свободных членов – матрицу-столбец В, т. е.

Рисунок.8.

Главный определитель системы A x = B это определитель матрицы А. Обозначается греческой буквой дельта.

Таким образом,

Рисунок.9.

Пусть ∆=0.

Если в определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при x1, x2,...xn на столбец свободных членов, то получим n дополнительных определителей (для каждого из n неизвестных)

Рисунок.10.

Тогда формулы Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными запишутся так:

Рисунок.11.

Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:

∆=0 и каждый определитель ∆_xi=0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных xi пропорциональны, т.е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k. Очевидно, что при этом система имеет бесчисленное множество решений.

∆=0 и хотя бы один определитель ∆_xi=0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных xi, пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Пример

Решим по методу Крамера систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Рисунок 12.

Решение:

Запишем главный и побочные определители системы:

Рисунок 13.

Рисунок.14.

Рисунок.15.

Рисунок.16.

Вычислим эти определители:

Рисунок.17.

Рисунок.18.

Рисунок 19.

Рисунок.20.

Подставим найденные значения определителей в формулы Крамера:

Рисунокя.21.

Литература

1. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная Алгебра М.: Просвещение 2000

2. Ким Г. Д., Е. В. Шикин Элементарные преобразования в линейной алгебре СПБ Нева 2003

3. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки. М., 2006

4. Наследов А.Д Математические методы. Анализ и интерпретация данных. Учебное пособие М.: Просвещение 2004

5. Самохин К.В. Теория определителей и ее применение: методическое пособие М.: МГУ 2000