Прикладная математика

Прикладная математика.

Статьи по теме
Искать по теме

Создание в середине ХХ в. электронно-вычислительных машин (ЭВМ) можно сравнить по своей значимости с любым из самых выдающихся технических достижений в истории человечества. В то же время необходимо подчеркнуть их особую, специфическую роль. Если обычные машины расширяют физические возможности людей в процессе трудовой деятельности, то ЭВМ являются их интеллектуальными помощниками. Широкое применение математических методов на базе ЭВМ привело к появлению новых эффективных методов познания законов реального мира и их использованию в практической деятельности. Вычислительные машины открыли новые возможности увеличения производительности труда, дальнейшего развития производства, совершенствования управления.

Процесс математизации науки, техники, экономики потребовал подготовки высококвалифицированных специалистов, в совершенстве владеющих технологией применения ЭВМ, способных реализовать их огромные и пока ещё далеко не исчерпанные возможности. ЭВМ не работает без направляющего воздействия человека. Их использование связано с построением математических моделей и созданием вычислительных алгоритмов. Машины также должны пройти соответствующее "обучение", то есть получить программное обеспечение, как общего, так и проблемно-ориентированного характера. Весь этот широкий комплекс проблем является полем деятельности специалистов по прикладной математике, для подготовки которых во многих университетах и институтах страны были созданы новые факультеты, отделения, кафедры.

В развитии различных областей человеческой деятельности математика оказывала и оказывает существенное влияние. Ее роль складывалась исторически и зависела от двух факторов: степени развития математических понятий и математического аппарата, а также степени зрелости знания об изучаемом объекте.

Математические понятия в процессе своего возникновения как бы впитывают в себя существенные свойства предметов и явлений и их отношений в виде существующих математических законов и структур. В результате свойства чувственно-конкретных предметов и явлений концентрированно отражаются в конкретных математических понятиях и структурах.

Дальнейшее развитие математических понятий и теорий происходит на базе уже существующих математических объектов. Этот процесс характеризуется многократным абстрагированием, идеализацией и обобщением. Математические объекты и теории не только обретают чувственно абстрактность, но и универсальную всеобщность и широкую применимость. В процессе применения математики осуществляется восхождение от абстрактного к конкретному.

Современное развитие науки характеризуется потребностью сложного изучения сложных всевозможных процессов и явлений – физических, химических, биологических, экономических, социальных и других. Происходит значительное увеличение темпов математизации и расширение ее области действия. Теории математики широко применяются в других науках, казалось бы, совершенно от нее далеких – лингвистике, юриспруденции. Это вызвано естественным процессом развития научного знания, который потребовал привлечения нового и более совершенного математического аппарата, проявлением новых разделов математики, а также кибернетики, вычислительной техники и так далее, что значительно увеличило возможности ее применения.

Более точное математическое описание процессов и явлений, вызванное потребностями современной науки, приводит к появлению сложных систем интегральных, дифференциальных, интегральных, трансцендентных уравнений и неравенств, которые не удается решить аналитическими методами в явном виде. Для решения таких задач приходится прибегать к вычислительным алгоритмам, использовать какие-либо бесконечные процессы, сходящиеся к конечному результату. Приближенное решение задачи получается при выполнении определенного числа шагов.

Развитие ЭВМ стимулировало более интенсивное развитие вычислительных методов, создало предпосылки решения сложных задач науки, техники, экономики. Широкое применение при решении таких задач получили методы прикладной математики и математического моделирования.

В настоящее время прикладная математика и ЭВМ являются одним из определяющих факторов научно-технического прогресса. Они способствуют ускорению развития ведущих отраслей народного хозяйства, открывают принципиально новые возможности моделирования и проектирования сложных систем с выбором оптимальных параметров технологических процессов.

ЭВМ обеспечивает интенсивный процесс математизации не только естественных и технических, но также общественных и гуманитарных наук. Математическое моделирование и ЭВМ получают широкое применение в химии, биологии, медицине, психологии, лингвистике и этот список можно продолжать и продолжать.

Начальный этап развития математики.

На ранних стадиях развития математики оба направления – прикладное и теоретическое – прослеживаются особенно отчетливо. Так как эти направления вначале взаимодействовали относительно слабо, то можно даже говорить о двух почти автономных ветвях математики – о прикладной и о теоретической (чистой) математике.

Так, математика в Древнем Египте была откровенно прикладной; она была непосредственно связана с задачами землемерия, вычисления объемов сосудов, практического счета, исчисления времени (в частности, в связи с предсказанием затмений) и т. д. Аналогичный характер имела математика в Древней Мексике и у некоторых других народов.

Чистая математика, по-видимому, возникла впервые в Древней Греции в связи с софистикой и отчетливо отделялась от прикладной. Именно древнегреческая наука выработала дедуктивный способ построения теории, согласно которому все утверждения в той или иной области выводятся с помощью методов формальной логики из некоторых, не доказываемых утверждений – аксиом. С тех пор этот способ изложения считается одной из характерных важнейших черт математики (если не важнейшей чертой). Стройность дедуктивного способа произвела столь большое впечатление на последующие поколения, что были сделаны попытки (впрочем, безуспешные) придать и другим областям знания строго дедуктивную форму. Известна такая попытка даже в философии.

Отмечу замечательную тщательность, с которой древнегреческая наука подходила к понятию бесконечности; эта тщательность позже была утеряна и вновь возродилась, причем на более высоком уровне, только в XX веке в работах по математической логике. Древнегреческая наука не признавала актуальной бесконечности, и ни в одной математической формулировке того времени нельзя найти того, что сейчас бы было названо бесконечным множеством или бесконечным процессом. Характерный пример: предложение, которое сейчас формулируется: "Множество простых чисел бесконечно", Евклидом формулировалось примерно так: "Если дано какое-либо (подразумевается – конечное) множество простых чисел, то существует еще, по крайней мере, одно простое число". Здесь можно усмотреть прямую аналогию с понятием неограниченной продолжимости, которое в одном из современных направлений математической логики призвано заменить понятие актуальной бесконечности. Как известно, отказ от актуальной бесконечности повлёк за собой определенные логические трудности, в которых греки, в общем, разобрались, отметив, в частности, что пространство и время безгранично делимы в возможности, но не безгранично разделены в действительности.

Высшими проявлениями строгости в древнегреческой математике были теория пропорций и метод исчерпывания Евдокса, аналогичные современным теории вещественного числа и методу перехода к пределу, но отличающиеся тем, что в греческих вариантах не фигурировали бесконечные множества и бесконечные процессы.

Впрочем, наряду с этими шедеврами строгости в логике древнегреческой математики имеются и существенные пробелы, которые с современной точки зрения представляются довольно заметными. Так, первоначальные определения понятий точки, линии и т. д. по существу определениями не являются ("Точка есть то, что не имеет частей" и т. п.) и в дальнейшем не упоминаются. Аксиомы охватывают только соотношения между величинами, да и то далеко не все те, которые используются. Совершенно отсутствуют определения и аксиомы, связанные с понятием следования (порядка) точек на прямой или окружности, то есть это понятие как бы относилось к числу тех слов (наподобие "пусть дано" и т. п.), понимание которых подразумевается при построении теории. Кроме того, интересно отметить, что греки вычисляли длины, площади, объемы различных, иногда довольно сложных линий, фигур, тел, но вопрос о самом существовании такой меры даже не возникал и т. д.

Между прочим, уже тогда греки (в частности, Архимед) пользовались и доказательствами, основанными на механических аналогиях; однако такие доказательства считались нестрогими, пропедевтическими, полученные утверждения надо было обязательно обосновать последующим строгим доказательством.

По-видимому, отчетливое отделение чистой математики от прикладной характерно также для стран средневекового Ислама и для алгебраистов средневековой Европы. При этом теория и практика решения алгебраических уравнений, а также комбинаторика все в большей степени врастают в чистую математику; в частности, крупнейшие математические открытия той эпохи – биноминальные коэффициенты, формулы для решения уравнений 3-й и 4-й степеней полностью принадлежат чистой математике.

Научное Возрождение.

Положение принципиально меняется с началом научного Возрождения – с работ Г. Галилея, И. Кеплера и других ученых, для которых математика и математический способ мышления становятся одним из основных орудий естествознания. Мощное давление естествознания весьма благотворно сказалось на развитии математики. В XVI–XVIII вв. оба направления – прикладное и теоретическое – непрерывно взаимодействовали и оплодотворяли друг друга. Типичной была такая картина, когда возникновение и первоначальное развитие математического понятия диктовались задачами естествознания или геометрии (приложения к которой в тот период порой мало отличались от приложений к механике или оптике); вскоре после создания это понятие получило самостоятельную жизнь и его развитие продолжалось по внутренним математическим законам; некоторые из результатов этого "чистого" развития вновь применялись к естествознанию, что приводило к появлению новых математических понятий и задач и т. д. Ярким и широко известным примером такого развития служит создание дифференциального и интегрального исчислений.

В этот "золотой" период гармонического развития математики различение, а тем более противопоставление чистой математики и прикладной потеряло всякий смысл. Этому способствовало и то обстоятельство, что крупнейшие ученые рассматриваемого периода – И. Ньютон, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и другие – были не только математиками, но и физиками, механиками; в трудах каждого из них развивались как теоретическое, так и прикладное направления математики.

Период доминирования теоретико-множественного направления.

Переход к следующему периоду растянулся на десятилетия, и потому его начало лишь условно можно датировать серединой ХХ века. Он связан с рядом блестящих работ по теории множеств (Г. Кантор) и теории функций (К. Вейерштрасса), по построению первых абстрактных алгебраических структур и анализу аксиом геометрии. Это широко известные и глубоко прогрессивные для своего времени работы превратили значительную часть математики в единую науку, с едиными требованиями к определениям, утверждениями и доказательствам, с едиными нормами строгости.

Что касается прикладного направления, то оно продолжало развиваться, прежде всего, в связи с развитием физики и небесной механики, однако, какого-либо переворота здесь не было.

Открывались новые каналы, через которые шли приложения, например векторные алгебра и анализ, тензорные алгебра и анализ, позже – операционное исчисление, теория обобщенных функций и т. п., но сам характер приложений некоторое время оставался в принципе тем же. Классический математический аппарат в сочетании с глубокими физическими идеями привел к ряду выдающихся открытий, сделанных, как пишут в популярных книгах, "на кончике пера". Широко известны примеры такого рода – предсказание электромагнитных волн К. Максвеллом, открытие планет Нептуна и Плутона, предсказание П. Дираком позитрона и т. д. На указанной основе возникла одна из важнейших областей современной науки – теоретическая физика.

Успехи теоретического направления, создание единого уровня строгости всей математики привели к тенденции решать и математические задачи, возникшие в приложениях, также на уровне строгости теоретического направления. Наиболее отчетливо эту тенденцию выразили Д. Гильберт и А, М. Ляпунов. В некоторых случаях эту тенденцию оказалось возможным реализовать, что, впрочем, привело к двойственности при решении прикладной задачи в целом: постановка задачи и интерпретация решения проводились на физическом уровне строгости (попытки аксиоматизации отдельных разделов физики на теоретико-множественной основе оказались безуспешными, так что физический уровень строгости здесь неизбежен), математическое же решение осуществлялось на математическом уровне строгости. В более сложных случаях, а также, если прикладную математическую задачу решали физики, к решению часто привлекались и физические соображения; однако математики рассматривали такое решение как неполноценное и стремились заменить его решением, находящимся полностью на достигнутом "вейерштрассовском" уровне строгости. Так сложилось еще одно "профессиональное" раздвоение между требованиями в уровне строгости решения прикладной математической задачи у математиков и прикладников.

Свой вклад в подобную раздвоенность могли бы внести и вычисления, которые, как известно, почти никогда не проводятся полностью на "вейерштрассовском" уровне строгости. Однако, отойдя от традиций Эйлера и других корифеев "золотого" периода, математики теоретико-множественного направления перестали вычислять. Эта деятельность была предоставлена астрономам, артиллеристам и т. п., а также небольшой группе специалистов-вычислителей, которые считались находящимися где-то между математиками и инженерами. Достижения в этой области подавляющим большинством математиков не принимались всерьез; во всяком случае они считались совершенно несравнимыми с поражающими воображение достижениями в новых направлениях.

Отмечу, что позже, когда вычислительная математика вошла в моду, произошло дальнейшее расслоение: по остроумному выражению Р. С.Гутера, "работающие в области вычислительной математики делятся на тех, кто доказывает сходимость вычислительных процессов и существование решений, и тех, кто применяет вычислительные процессы и получает решения". Именно эти последние приносят непосредственную пользу прикладным наукам.

Что включать в математику?

Что такое прикладная математика? Вообще, существует ли она? Эти вопросы сейчас вызывают порой ожесточенную дискуссию. Любопытно, что термин "прикладная математика" стал сейчас чрезвычайно модным.

Кажется, что наиболее распространенная точка зрения на понятие "прикладная математика" среди математиков состоит в том, что прикладной математики вообще нет. Впрочем, разные математики вкладывают в эти слова совершенно различное содержание в зависимости от того, что они, математики, включают в самое математику.

Одни считают, что математикой нужно называть лишь чисто дедуктивные построения. Все, что лежит вне таких построений, к математике и к математикам отношения не имеет и не должно называться математикой, даже прикладной. Ныне эта точка зрения редко высказывается вслух, но "неофициально" она еще довольно распространена.

В действительности названная точка зрения, неправомерно и значительно суживающая границы Великой Науки Математики, приносит вред в первую очередь самой математике (и, конечно, делу подготовки молодых математиков). Вот что пишут по этому поводу М. Кац и С. Улам: "Попытки – к сожалению, довольно частые – изолировать "чистую" математику от всей остальной научной деятельности и заставить ее вариться в собственном соку могут лишь обеднить и математику, и прочие науки".

Та же мысль высказывалась Ф. Клейном: "Чисто логические концепции должны составить, так сказать, тверды и скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но самое жизнь математики, важнейшие наведения и ее продуктивность относятся преимущественно к ее приложениям, то есть к взаимным отношениям ее абстрактных объектов со всеми другими областями. Изгнать приложения из математики – это то же, что искать живое существо с одной только костной основой, без мускулов, нервов и сосудов".

Процитируем, наконец, и А. Пуанкаре: "Физика не только дает математикам повод к решению проблем; она еще помогает найти к этому средства. Это происходит двояким путем. Во-первых, она дает нам предчувствия решения; во-вторых, подсказывает нам ход рассуждений".

Здесь, в сущности, выражена вторая точка зрения. Она заключается в том, что в сферу действия математики вводятся также и практические методы решения задач, приходящих извне математики (приближенные методы, применение математических машин и т. п.).

Однако еще более импонирует самая широкая – третья – точка зрения, согласно которой математика не только охватывает дедуктивные области, но и включает все математические сущности – математические объекты, методы и идеи, встречающиеся как в теоретической математике, так и в приложениях: имеются в виду построение математических моделей, математический эксперимент, индуктивные или другие рациональные рассуждения математического характера и т. п.

В весьма интересной книге Д. Пойа говорится: "Пределы математики – это вся область доказательных рассуждений, относящихся к любой науке, достигнувшей того уровня развития, при котором относящиеся к этой науке понятия могут быть выражены в абстрактной, логико-математической форме". Хочется добавить, что при этом в понятие доказательности не следует вкладывать узко догматическое содержание.

Конечно, приверженцам этой точки зрения, которая представляется нам наиболее прогрессивной и плодотворной для математики (и, что довольно существенно, также для математиков), приходится поступиться "теоретико-множественным единством" математики, оставив его лишь за неким "ядром" математики.

Точки зрения на прикладную математику.

Прежде всего, с огорчением отмечу, что, по мнению некоторых математиков, заниматься приложениями вообще зазорно.

По этому поводу Ф. Клейн писал: "К сожалению... все еще встречаются университетские преподаватели, которые не находят достаточно презрительных слов по адресу всякого занятия приложениями. С высокомерием, которое сказывается в таких взглядах, должно бороться самым решительным образом. Всякое дельное достижение, относится ли оно к теоретической или к прикладной области, следовало бы ценить одинаково высоко, представляя каждому, возможность заниматься теми вещами, к которым он чувствует наибольшую склонность. Тогда каждый проявит себя тем более разносторонним образом, чем большим числом талантов он обладает: величайшие гении, каковы Архимед, Ньютон, Гаусс, всегда охватывали равномерно и теорию и практику".

Приведу еще слова Р. Куранта: "На самом деле между "чистой" и "прикладной" математикой невозможно провести четкую грань. Поэтому-то в математике не должно быть разделения на касту верховных жрецов, поклоняющихся непогрешимой математической красоте и внимающих только своим склонностям, и на работников, обслуживающих их. Подобная "кастовость"– в лучшем случае симптом человеческой ограниченности".

В. В. Новожилов пишет: "К сожалению, теоретик до сих пор нередко рассматривает "прикладника" как математика второго сорта, как ученого, который не способен работать предельно строго, разменивается на частности в ущерб общности. Легко обнаруживая у "прикладников" промахи в строгости рассуждений, теоретик часто остается равнодушным к их основному достоинству – умению с достаточной для практических целей точностью решать такие актуальные задачи, которые он сам строгими методами решить не может".

В этих цитатах достаточно ярко освещена психологическая сторона вопроса. Но независимо от этого нужно подчеркнуть, что ныне все чаще признается объективное существование прикладной математики. Однако и за подобным признанием скрываются различные точки зрения.

Так, некоторые считают, что прикладная математика – это "шир-потребная", в дурном смысле, часть математики, существующая в виде логически недоработанного и несовершенного (возможно, из-за низкой математической культуры специалистов в этой области) набора некоторых приемов, рецептов и правил. Указанные недостатки прикладной математики должны быть преодолены, в результате чего эта "недоматематика" возвысится до нормального математического уровня.

Думается, что эта наивная, но распространенная точка зрения, если она не является проявлением снобизма, основана на тяжелом непонимании истинной ситуации. В самом деле, как с этой точки зрения можно объяснить то, что физики, инженеры-теоретики и другие специалисты, среди которых, бесспорно, имеется немало неглупых людей, применяя математику, упорно уклоняются от строго дедуктивного языка? И хотя в институтах их систематически учат этому языку, они (себе во вред?) предпочитают переучиваться, переходя на язык прикладной математики и перестраивая весь образ математического мышления. В действительности такая перестройка порой напоминает ломку, так как при этом отбрасываются многие "чистые" определения, теоремы и приемы, на которых категорически настаивает чисто дедуктивный образ мышления. По моему мнению, такая перестройка вполне естественна и единственное объяснение ее состоит в том, что она необходима.

Другая точка зрения отождествляет прикладную математику с вычислительной и машинной математикой. Эта точка зрения представляется узкой и создающей одностороннюю ориентацию.

Математическое решение прикладных задач обладает серьезной спецификой. Прежде всего, здесь принципиально недостижима доказательность того же уровня, что в чисто математических исследованиях, хотя бы потому, что математическая модель реального объекта может описывать лишь существенные в том или ином смысле черты этого объекта, но никогда не претендует и не должна претендовать на его полное описание. С другой стороны, к решению прикладных задач предъявляются требования, которые в чисто математических исследованиях считаются второстепенными: прикладная задача должна быть решена не только правильно, но и своевременно, экономно по затраченным усилиям, решение должно быть доступным для существующих вычислительных средств и пригодным для фактического использования, точность решения должна соответствовать задаче и тому подобное.

Наилучшее выполнение всех этих порой противоречащих друг другу требований условно назвали оптимальностью решения (по отношению к приложениям), хотя на данном этапе развития науки единую функцию цели было бы указать затруднительно. Исходя из этого, было предложено определение прикладной математики как науки об оптимальных, грубо говоря, практически приемлемых методах решения математических задач, возникающих вне математики. Таким образом, прикладная математика – это математика, опосредствованная практикой, это как бы составная дисциплина наподобие биохимии или теплотехники.

Развитие этой дисциплины определяется как расширением круга приложений, так и изменением конкретного содержания понятия оптимальности решения задачи; в частности, это содержание существенно изменилось под влиянием современных вычислительных средств. Само собой разумеется, что если мы ищем оптимальное решение, то это не значит, что мы должны отвергать решения, лишь приблизительно отвечающие требованию оптимальности. Значительная часть реальных решений, которыми мы пользуемся, как раз и есть решения, в данное время в какой-то мере удовлетворяющие этому требованию.

По данному поводу можно напомнить известный афоризм: "Чистая математика делает то, что можно, так, как нужно, а прикладная – то, что нужно, так, как можно".

Представляется привлекательной и точка зрения, высказанная Л.В.Овсянниковым: "Прикладная математика – это наука о математических моделях; более подробно можно сказать – о построении, исследовании, интерпретации и оптимизации математических моделей".

Это определение, выделяющее объект науки, на мой взгляд, отнюдь не противоречит предыдущему, которое имеет более функциональный характер. Таким образом, если проводить аналогию – в целом, довольно далекую – между математикой и языком, то чистая и прикладная математика будут напоминать грамматику и семантику соответственно.

Дискуссии о том, образует ли прикладная математика самостоятельную науку, представляются несколько схоластическими из-за многозначности выражения "самостоятельная наука". Возможно, что более правильно говорить не о науке, а об определенном аспекте математики, возникающем при ее приложениях, так сказать, о результате своеобразного "проецирования" математики на цивилизацию; важно, что при таком проецировании математика приобретает качественно новые черты. Это проецирование, эти черты и определяют прикладную математику.

Приведу в заключение яркие слова Р. Куранта, говорящие о различии подхода к проблемам чистой и прикладной математики: "Одна и та же математическая проблема может быть решена по-разному; приверженец строгого математического подхода (а стремление к таковому временами возникает у всякого человека, склонного к научному мышлению) требует бескомпромиссного совершенства. Он не допускает никаких пробелов в логике мышления и в решении поставленных задач, а достигнутый результат, по его мнению, должен быть венцом неразрывной цепи безупречных рассуждений. И если сторонник такого подхода сталкивается с трудностями, которые ему кажутся непреодолимыми, то он скорее попытается переформулировать задачу или даже поставить другую, родственную ей, трудности которой он может преодолеть. Существует и другой обходной путь: заново определить то, что считалось "решением проблемы"; в действительности подобная процедура иногда представляет собой довольно общепринятый предварительный шаг к подлинному решению исходной задачи. В исследованиях прикладного характера все выглядит по-иному. Прежде всего, поставленную задачу нельзя с такой легкостью видоизменить или обойти. Здесь требуется другое; дать правильный и надежный с общечеловеческой точки зрения ответ. В случае необходимости математик может пойти на компромисс: он должен быть готов внести догадки в цепь рассуждений, а также допустить известную погрешность в числовых значениях. Однако даже задачи в основном практического направления, например о течениях, с ударными волнами, могут потребовать фундаментального математического исследования, чтобы установить, корректно ли поставлена такая задача. В прикладных исследованиях могут понадобиться и доказательства чисто математических теорем существования, поскольку уверенность в том, что имеется решение, может гарантировать достоверность используемой математической модели. И, наконец, в прикладной математике доминируют аппроксимации (приближения) – без них невозможно обойтись при переносе реальных, физических процессов на математические модели. Обращение с реальностью, преобразованной в абстрактные математические модели, и оценка точности достигаемых при этом соответствий требуют интуитивных навыков, совершенствуемых опытом. Часто необходимо как-то преобразовать исходную математическую проблему, которая оказывается слишком сложной для решения современными методами. Это отчасти объясняет характер интеллектуального риска и удовлетворение, которое испытывают математики, работающие с инженерами и естествоиспытателями над решением реальных задач, возникающих всюду, куда проникает человек в своем стремлении к познанию природы и управлению ею".

Основные элементы прикладной математики.

Математические модели.

Исследование прикладных задач обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта. Однако в дальнейшем часто возникает необходимость уточнить модель, сделать её соответствие объекту более полным. Это может быть обусловлено разными причинами: требованием более высокой точности, появление новой информации об объекте, которую нужно отразить в математической модели, расширением диапазона параметров, выводящим за пределы применимости исходной модели, и так далее. При построении новой модели полезно максимально полно использовать опыт и результаты, полученные на первом этапе. Часто процесс последовательного развития и уточнения модели повторяется неоднократно.

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования. Остановимся на общей теории моделирования.

Методологическая основа моделирования заключается в следующем. Все то, на что направлена человеческая деятельность, называется объектом (лат. objectum – предмет). Выработка методологии направлена на упорядочение получения и обработки информации об объектах, которые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой.

В научных исследованиях большую роль играют гипотезы, то есть определенные предсказания, основывающиеся на небольшом количестве опытных данных, наблюдений, догадок. Быстрая и полная проверка гипотез может быть проведена в ходе специально поставленного эксперимента. При формулировании и проверки правильности гипотез большое значение в качестве метода суждений имеет аналогия.

Аналогией называют суждение, о каком либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть существенным и несущественным. Необходимо отметить, что понятия существенности и несущественности сходства или различия объектов условны и относительны. Существенность сходства (различия) зависит от уровня абстрагирования и в общем случае определяется конечной целью проводимого исследования. Современная научная гипотеза создается, как правило, по аналогии с проверенными на практике научными положениями. Таким образом, аналогия связывает гипотезу с экспериментом.

Гипотезы и аналогии, отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводится к удобным для исследования логическим схемам. Такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называются моделями. Другими словами модель (лат. modulus – мера) – это объект заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели. Таким образом, моделирование может быть определено как представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью. И.Т. Фролов отмечал, что "моделирование означает материальное или мысленное имитирование реально существующей системы путем специального конструирования аналогов (моделей), в которых воспроизводятся принципы организации и функционирования этой системы". Здесь в основе мысль, что модель средство познания, главный ее признак – отображение. Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моделями) и исследование свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования.

Понятие математического моделирования как методологии научных исследований

Под математическим моделированием, в узком смысле слова, понимают описание в виде уравнений и неравенств реальных физических, химических, технологических, биологических, экономических и других процессов. Для того чтобы использовать математические методы для анализа и синтеза различных процессов, необходимо уметь описать эти процессы на языке математики, то есть описать в виде системы уравнений и неравенств.

Как методология научных исследований математическое моделирование сочетает в себе опыт различных отраслей науки о природе и обществе, прикладной математики, информатики и системного программирования для решения фундаментальных проблем. Математическое моделирование объектов сложной природы – сквозной единый цикл разработок от фундаментального исследования проблемы до конкретных численных расчетов показателей эффективности объекта. Результатом разработок бывает система математических моделей, которые описывают качественно разнородные закономерности функционирования объекта и его эволюцию в целом как сложной системы в различных условиях. Вычислительные эксперименты с математическими моделями дают исходные данные для оценки показателей эффективности объекта. Поэтому математическое моделирование как методология организации научной экспертизы крупных проблем незаменимо при проработке народнохозяйственных решений. (В первую очередь это относится к моделированию экономических систем).

По своей сути математическое моделирование есть метод решения новых сложных проблем, поэтому исследования по математическому моделированию должны быть опережающими. Следует заранее разрабатывать новые методы, готовить кадры, умеющие со знанием дела применять эти методы для решения новых практических задач.

Математическая модель может возникнуть тремя путями:

В результате прямого изучения реального процесса. Такие модели называются феноменологическими.

В результате процесса дедукции. Новая модель является частным случаем некоторой общей модели. Такие модели называются асимптотическими.

В результате процесса индукции. Новая модель является обобщением элементарных моделей. Такие модели называют моделями ансамблей.

Процесс моделирования начинается с моделирования упрощенного процесса, который с одной стороны отражает качественные основные явления, с другой стороны допускает достаточно простое математическое описание. По мере углубления исследования строятся новые модели, более детально описывающие явление. Факторы, которые считаются второстепенными на данном этапе, отбрасываются. Однако, на следующих этапах исследования, по мере усложнения модели, они могут быть включены в рассмотрение. В зависимости от цели исследования один и тот же фактор может считаться основным или второстепенным.

Математическая модель и реальный процесс не тождественны между собой. Как правило, математическая модель строится с некоторым упрощением и при некоторой идеализации. Она лишь приближенно отражает реальный объект исследования, и результаты исследования реального объекта математическими методами носят приближенный характер. Точность исследования зависит от степени адекватности модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики.

Схема построения математических моделей следующая:

- Выделение параметра или функции, подлежащей исследованию.

- Выбор закона, которому подчиняется эта величина.

- Выбор области, в которой требуется изучить данное явление.

Классификация математических моделей.

Существуют всевозможные классификации математических моделей. Выделяют линейные и нелинейные модели, стационарные и динамические, модели, описываемые алгебраическими, интегральными и дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных. Можно выделять классы детерминируемых моделей, вся информация в которых является полностью определяемой, и стохастических моделей, то есть зависящих от случайных величин и функций. Так же математические модели различают по применению к различным отраслям науки.

Рассмотрим следующую классификацию математических моделей. Все математические модели разобьем условно на четыре группы.

I. Модели прогноза или расчетные модели без управления. Их можно разделить на стационарные и динамические.

Основное назначение этих моделей: зная начальное состояние и информацию о поведение на границе, дать прогноз о поведении системы во времени и в пространстве. Такие модели могут быть и стохастическими.

Как правило, модели прогнозирования описываются алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями и неравенствами. Примерами могут служить модели распределения тепла, электрического поля, химической кинетики, гидродинамики.

II. Оптимизационные модели. Их так же разбивают на стационарные и динамические. Стационарные модели используются на уровне проектирования различных технологических систем. Динамические – как на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами – технологическими, экономическими и др.

В задачах оптимизации имеется два направления. К первому относятся детерминированные задачи. Вся входная информация в них является полностью определяемой.

Второе направление относится к стохастическим процессам. В этих задачах некоторые параметры носят случайный характер или содержат элемент неопределенности. Многие задачи оптимизации автоматических устройств, например, содержат параметры в виде случайных помех с некоторыми вероятностными характеристиками.

Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто называются методами математического программирования. Задачи математического программирования – одни из важных оптимизационных задач.

В математическом программировании выделяются следующие основные разделы:

- Линейное программирование. Целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств.

- Нелинейное программирование. Целевая функция нелинейная и нелинейные ограничения.

- Выпуклое программирование. Целевая функция выпуклая и выпуклое множество, на котором решается экстремальная задача.

- Квадратичное программирование. Целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные равенства и неравенства.

- Многоэкстремальные задачи. Задачи, в которых целевая функция имеет несколько локальных экстремумов. Такие задачи представляются весьма проблемными.

- Целочисленное программирование. В подобных задачах на переменные накладываются условия целочисленности.

Как правило, к задачам математического программирования неприменимы методы классического анализа для отыскания экстремума функции нескольких переменных.

Модели теории оптимального управления – одни из важных в оптимизационных моделях. Математическая теория оптимального управления относится к одной из теорий, имеющих важные практические применения, в основном, для оптимального управления процессами.

Различают три вида математических моделей теории оптимального управления. К первому виду относятся дискретные модели оптимального управления. Традиционно такие модели называют моделями динамического программирования. Широко известен метод динамического программирования Беллмана. Ко второму типу относятся модели, описываемые задачам Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Их часто называют моделями оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Третий вид моделей описывается краевыми задачами, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Такие модели называют моделями оптимального управления системами с распределенными параметрами.

III. Кибернетические модели. Этот тип моделей используется для анализа конфликтных ситуаций.

Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими субъектами, в распоряжении которых имеется несколько управляющих параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов со своими собственными интересами.

IV. Вышеописанные типы моделей не охватывают большого числа различных ситуаций, таких, которые могут быть полностью формализированы. Для изучения таких процессов необходимо включение в математическую модель функционирующего "биологического" звена – человека. В таких ситуациях используется имитационное моделирование, а также методы экспертиз и информационных процедур.

Понятие алгоритма.

Построение модели рассматриваемого объекта позволяет поставить задачу его изучения как математическую. После этого наступает второй этап исследования – поиск метода решения сформулированной математической задачи. Следует иметь в виду, что в прикладных работах нас, как правило, интересуют количественные значения искомых величин, то есть ответ должен быть доведён "до числа". Все расчеты проводятся с числами, записанными в виде конечных десятичных дробей, поэтому результаты вычислений всегда носят приближенный характер. Стало быть, важно добиться того, чтобы ошибки укладывались в рамки требуемой точности.

В большинстве задач, с которыми мы встречались до этого в математике, ответ давался в виде формулы. Формула определяла последовательность математических операций, которую нужно выполнить для вычисления искомой величины. Например, формула корней квадратного уравнения позволяет найти их по значениям коэффициентов этого уравнения, формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон.

Для решения математической задачи важно указать систему правил, которая задает строго определенную последовательность математических операций, приводящих к искомому ответу. Такую систему правил называют алгоритмом. Понятие алгоритма в его общем виде относится к числу основных понятий математики.

В простейшем случае последовательность математических операций, с помощью которых можно вычислить искомые величины, определяется формулами. Так, формула Герона является алгоритмом вычисления площади треугольника по его сторонам.

Алгоритмы решения многих математических задач, для которых не удается получить ответ в виде формулы, основаны на следующей процедуре: строится бесконечный процесс, сходящийся к искомому решению. Он обрывается на некотором шаге(вычисления нельзя продолжать бесконечно), и полученная таким образом величина приближенно принимается за решение рассматриваемой задачи.

Проблема применения алгоритмов, использующих бесконечный сходящийся процесс,- не в приближенном характере дело, а в большом объёме необходимых вычислений. Не случайно такие алгоритмы принято называть вычислительными алгоритмами, а основанные на них методы решения математических задач – численными методами. Широкое применение вычислительных алгоритмов стало возможным благодаря ЭВМ. До их появления численные методы использовались редко и только в сравнительно простых случаях в силу чрезвычайной трудоёмкости вычислений вручную.

В заключение сделаю несколько замечаний общего характера:

1) При разработке вычислительных алгоритмов особенное внимание уделяется тому, чтобы они были удобны для машинного счета.

2) Опыт показывает, что гораздо выгоднее развивать универсальные алгоритмы для решения широкого класса типичных математических задач, чем строить частные алгоритмы для решения каждой задачи в отдельности.

3) Изучение объектов самой различной природы часто приводит к одним и тем же математическим задачам. Поэтому имеется благоприятная возможность выделить задачи, которые часто встречаются в приложениях, изучить их особенности, разработать эффективные алгоритмы и реализовать эти алгоритмы в виде стандартных программ для ЭВМ.

Выводы

Ёще Галилеем было сказано, что книга природы написано на языке математики. Развивая эту мысль, Н. Бор писал: "Чистая математика является не отдельной областью знания, а скорее усовершенствованием общего языка, оснащением его удобными средствами для отображения таких зависимостей, для которых обычные словесные выражения оказались бы неточными". Математику следует назвать не языком науки, а скорее грамматикой (и поэтикой) этого языка – дисциплиной, изучающей правила обращения со своеобразным языком, словами которого являются символы, фразами – формулы, а литературным произведением – научные теории.

В человечестве наряду со способностью к конкретному (образному) мышлению заложена способность (и потребность) к абстрактному мышлению, и математика является наивысшей формой удовлетворения данной потребности, что и придает ей самостоятельную, независимую от каких-либо практических приложений ценность, аналогичную, например, ценности музыки.

Это понимали уже древние греки, и, вероятно, именно это имел в виду Дьедоне, сказав: "Математика – не более чем роскошь, которую может себе позволить цивилизация".

Если "чистый" математик категорически исключает возможность привлечения к рассуждениям и доказательствам аргументации нематематического характера, то прикладной математик считает допустимым пользоваться для достижения любыми средствами, принимая во внимание весь накопленный практический опыт.

Из сказанного следует, что особой науки "прикладная математика" нет, а прикладные математики, тем не менее, существуют. Это специалисты, использующие достижения математики в нематематических целях, допуская для обоснования своих действий привлечение нематематических средств.

Литература

1. Мышкис А.Д. Что такое прикладная математика? Вестник высшей школы, 1967, №2

2. Налимов В.В. Логические основания прикладной математики. – М.: Издательство МГУ, 1979

3. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика: логика, особенности подходов. – Киев: Наукова думка, 1976

4. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. – М.: Наука, 1984

5. Математика наших дней. – М.: Знание, 1976