Метод Гаусса в математике

Метод Гаусса в математике.

Краткая теория

Пусть дана система линейных уравнений

Коэффициенты a11, 12,..., a1n,..., an1, b2,..., bn считаются заданными.

Вектор – строка í x1, x2,..., xn – называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.

Определитель n-го порядка D = ç A ê = ç aij ç, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи:

Если D¹0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Гаусса.

Если D = 0, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений, либо несовместна, т. е. решений нет.

Методические рекомендации

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Метод Гаусса решения системы (2) состоит в следующем:

Разделим все члены первого уравнения на a11 ≠ 0, а затем, умножив полученное уравнение на a21, a31, вычтем его соответственно из второго и третьего уравнений системы (2). Тогда из второго и третьего уравнений неизвестное x1 будет исключено, и получится система вида:

Теперь разделим второе уравнение системы (3) на a122, умножим полученное уравнение на a132 и вычтем из третьего уравнения. Тогда из третьего уравнения неизвестное x2 будет исключено, и получится система треугольного вида:

Из последнего уравнения системы (4) находим x3,подставляя найденное

значение в первое уравнение, находим x1.

Примеры выполнения заданий

Методом Гаусса решить систему:

Решение.

Разделив уравнение (а) на 2, получим систему

Вычтем из уравнения (b) уравнение (a1), умноженное на 3, а из уравнения (c) – уравнение (a1), умноженное на 4

Разделив уравнение (b1) на -2,5, получим:

Вычтем из уравнения (c1) уравнение (b2), умноженное на -3:

Из уравнения (c2) находим Z = -2.

Подставив это значение в уравнение (b2), получим Y = 0,2 – 0,4Z = 0,2 – 0,4(-2) = 1.

Наконец, подставив значение Z = -2 и Y = 1 в уравнение (a1), находим X = 0,5 – 0,5Y – Z = 0,5 – 0,5 1 – (-2) = 2.

Итак, получаем ответ X = 2, Y = 1, Z = -2.

Проверка: