Метод Гаусса в математике.
Метод Гаусса в математике
Краткая теория
Пусть дана система линейных уравнений
Коэффициенты a11, 12,..., a1n,..., an1, b2,..., bn считаются заданными.
Вектор – строка í x1, x2,..., xn – называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.
Определитель n-го порядка D = ç A ê = ç aij ç, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают следующие случаи:
1.Если D¹0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Гаусса.
2.Если D = 0, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений, либо несовместна, т. е. решений нет.
Методические рекомендации
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Метод Гаусса решения системы (2) состоит в следующем:
Разделим все члены первого уравнения на a11 ≠ 0, а затем, умножив полученное уравнение на a21, a31, вычтем его соответственно из второго и третьего уравнений системы (2). Тогда из второго и третьего уравнений неизвестное x1 будет исключено, и получится система вида:
Теперь разделим второе уравнение системы (3) на a122, умножим полученное уравнение на a132 и вычтем из третьего уравнения. Тогда из третьего уравнения неизвестное x2 будет исключено, и получится система треугольного вида:
Из последнего уравнения системы (4) находим x3,подставляя найденное
значение в первое уравнение, находим x1.
Примеры выполнения заданий
Методом Гаусса решить систему:
Решение.
Разделив уравнение (а) на 2, получим систему
Вычтем из уравнения (b) уравнение (a1), умноженное на 3, а из уравнения (c) – уравнение (a1), умноженное на 4
Разделив уравнение (b1) на -2,5, получим:
Вычтем из уравнения (c1) уравнение (b2), умноженное на -3:
Из уравнения (c2) находим Z = -2.
Подставив это значение в уравнение (b2), получим Y = 0,2 – 0,4Z = 0,2 – 0,4(-2) = 1.
Наконец, подставив значение Z = -2 и Y = 1 в уравнение (a1), находим X = 0,5 – 0,5Y – Z = 0,5 – 0,5 1 – (-2) = 2.
Итак, получаем ответ X = 2, Y = 1, Z = -2.
Проверка: